等差幂线

编辑:互学吧互动百科 时间:2019-10-21 00:39:51
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两条直线垂直的一个充要条件,即等差幂线定理。
中文名
等差幂线
同理,
BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2.
证    明
若直线PM⊥AB于N,则
充要条件
AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2 

等差幂线术语简介

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等差幂线定理:
PM⊥AB的充要条件是:
若PM⊥AB,则有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2。

等差幂线实现过程

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证明:
AP^2 一AN^2 = PN^2;
AM^2 一AN^2 = MN^2.
以上两式相减得
同理,
BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2.②
由式①、②得
AP^2 一AM^2 = BP^2 一BM^2 .③
证毕。
反之,若有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2成立,则PM⊥AB。
证明:设∠ANP=α,则∠BNP=π—α.
故AP^2 一AM^2
= AN^2 + PN^2 — 2AN·PNcosα+2AN·MNcosα一AN^2 一MN^2
= PN^2 一MN^2 一2AN·PNcosα+2AN·MNcosα.
BP^2 一BM^2
= PN^2 + BN^2 一2PN·BNcos(π—α) 一MN^2 一BN^2 + 2MN·BNcos(π—α).
= PN^2 一MN^2 + 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα.
由式③得
2AN·MNcosα一2AN·PNcosα
= 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα,
即MN(AN + BN)cosα
= PN(AN + BN)cosα.
从而,(PN 一MN) cosα=0,即PM cosα=0.
因此,cosα=0.
又因为0<α<π,所以α= π/2.
故PM⊥AB.[1] 
参考资料
词条标签:
理学 文化术语 文化 学科